Et klassisk problem i geometrien

Et klassisk problem i geometrien er å finne antall kurver av en bestemt type som tilfredsstiller visse egenskaper. Egenskapene kan være å inneholde et gitt punkt eller tangere en gitt linje, og de tallene som oppstår kalles da karakteristiske tall for den type kurver som vi betrakter.

Karakteristiske tall for plane kurver av grad 2, 3 og 4 ble beregnet allerede på 1800-tallet, men datidens matematikere kunne ikke gi fullgode bevis for resultatene. Problemet for 3.gradskurver ble løst først i 1986, og for 4.gradskurver i 1999.

I klassisk geometri jobbet man mest med reelle og komplekse tall, men det finnes andre tallsystemer som det kan være like naturlig å betrakte. Berg har studert problemet med å telle kurver når tallsystemet har positiv karakteristikk (dvs. at p=0 for et primtall p).

Avhandlingen består av to artikler. I den første artikkelen løses tilfellet av 3.gradskurver i karakteristikk 2. Metoden bygger på moderne algebraisk geometri og snitteori utviklet etter 1950, og tilsvarer den som Aluffi brukte for å løse tilfellet av 3.gradskurver over komplekse tall på 80-tallet.

I den andre artikkelen studeres rasjonale kurver i karakteristikk p, og tilfellet for 3.gradskurver blir fullstendig løst. I tillegg vises det nøyaktig hva som skiller karakteristikk p tilfellet fra komplekse tall når det gjelder denne problemstillingen. Metoden er en videreutvikling av en artikkel av Pandharipande fra 90-tallet.

Høyer Berg er født i oslo i 1968 og er cand scient med matematikk hovedfag fra UiO i 1991. Nåværende arbeidssted er Matematisk bibliotek, UiO.