Fasit nr. to - Mattenøtt TU 16 - 2004

Anders Kristoffersen har sendt inn et spørsmål på mitt forslag til løsning på mattenøtt i TU 16. Etter en lang undring har jeg også funnet ut at han har rett. Jeg må bare få gratulere Anders, det var godt gjort.

Anders Kristoffersen kommer med to løsningsforslag. Av de to løsningene han foreslår, er nok den første å foretrekke. Ellers så synes jeg det er morsomt at han simulerer tilfeldige punkter og regnet ut et gjennomsnitt med rett svar i fire siffer. Det må ha vært mange tilfeldige punkter han har brukt.

Her er hans forslag:

Når man velger det første punktet innenfor sirkelen, altså det som ligger i avstand r fra sentrum og som definerer arealet A(r), mener jeg man bør ta hensyn til at det er større sannsynlighet for å velge store radier enn små. Sannsynlighetsfordelingen blir rho(r)=2r, og dette må tas med som en vektingsfaktor i integralet som uttrykker den totale sannsynligheten.

En annen måte å se det på er følgende. For en gitt radius r fås sannsynligheten p(r)=A(r)/A, der A=pi. Denne skal midles over alle mulige posisjoner innenfor sirkelen, noe som er ekvivalent til å utføre integrasjonene \int dA/A , der dA=2 pi r dr.

Uansett betyr dette at man må ta med en faktor 2r i integralet, og resultatet blir i så fall pi-3*sqrt(3)/4 som er tilnærmet lik 0.5865 (i stedet for 0.6885).

Jeg foretok en simulering der jeg valgte tilfeldige par av punkter innenfor en sirkel, og resultatet ble 0.5865, men jeg tar selvfølgelig forbehold om at jeg kan ha misforstått oppgaven.