Fasit Mattenøtt TU 14 - 2003

Her har man to forskjellige tilfelle:

a) Det betraktede plan har tre punkter på den ene siden og ett på den andre.

b) Planet har to punkter på hver side

a) Her legges et plan A gjennom tre punkter. Den rette linjen fra det fjerde punktet P vinkelrett inn på planet A, gir avstanden fra P til planet. Et plan B parallelt med A i den halve avstand fra P til A, har da den egenskap at alle fire punkter har samme avstand fra B. På samme måte kan vi bestemme et plan for hvert av de tre andre punktene. Det blir i alt 4 plan.

b) I dette tilfelle kan vi legge en linje l gjennom to av punktene, og en annen linje m gjennom de to andre punktene. Så tenker vi oss en linje n som er normal til både l og m. Et plan A gjennom l som har n som normalvektor, vil da være parallell med linjen m. Et plan B parallelt med A og like langt fra m som fra A, er da det søkte plan. Det er tre muligheter for å velge de to linjene l og m, og derfor tre plan som har to punkter på hver side og alle punktene har samme avstand til planet.

Sammenlagt finnes det derfor i alt 7 plan som har den ønskede egenskap.