Fasit Mattenøtt TU 12 - 2003

Ved Einar Madsen

Vi skulle vise at alle oddetall kan skrives som differensen mellom to kvadrattall, mens av partallene er det bare de som er delelig med 4, som kan skrives på denne måten.

Alle oddetall har formen 2t+1 og kan skrives som differansen mellom to kvadrattall slik:

2t+1 = (t+1) 2 - t 2

Alle tall som er delelig med 4 har formen 4t og kan skrives slik: 4t = (t+1) 2 - (t-1) 2

Men tall av formen 4t+2 , for eksempel 42 kan ikke skrives som en slik differens. Kvadratet av et partall 2n, nemlig 4n 2 er av formen 4t, og kvadratet av et oddetall 2n+1, nemlig 4n 2+4n+1 er av formen 4t+1.

Derfor kan ikke differensen mellom to kvadrattall være av formen 4t+2. Dette gjelder uansett om begge kvadrattallene er oddetall, begge partall eller om de er av ulik paritet. Qed.