Fasit mattenøtt TU 10 - 2014

 

Oppgaven: Vi skjerper en gammel primtallsoppgave, men den er fortsatt enkel.

La p ≥ 5 være et primtall. Vis at da er N = p2 – 1 alltid delelig med 24.

Løsning: Vi faktoriserer N = p2 – 1 = (p-1)(p+1). I rekken av naturlige tall følger (p-1), p, (p+1) etter hverandre, slik at et av disse er delelig med 3.

Det kan ikke være p, siden p er prim, og da er enten p-1 eller p+1 delelig med 3.

Siden p er prim er både p-1 og p+1 like tall. Av disse partall må et også være delelig med 4.

Dermed er N delelig med 2*3*4 = 24, hvilket skulle bevises.

Vil du løse flere mattenøtter?

Vi har mange utfordringer til deg her: tu.no/matte