Fasit Mattenøtt TU 07 - 2003

Ved Einar Madsen





Siden eksponenten er et partall, kan vi skrive det på formen T = 2 2n - 1. Dette kan faktoriseres slik: T = (2 n + 1)(2 n - 1) og T er dermed ikke noe primtall.





I 1644 fremla Mersenne den formodning at M n = 2 n - 1, er et primtall for n = 2, 3, 5 , 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 og 257, og sammensatt (dvs ikke primtall) for alle andre n mindre enn 257. Leonard Euler (1707-83) klarte å vise at M 31 var et primtall ved å prøve alle primtall opp til kvadratroten av dette tallet. Men i 1876 viste F.E.A. Lucas at M 67 er sammensatt, men han kunne ikke finne på hvilken måte. Lucas viste også at M 127 er et primtall. M 67 ble i 1903 helt uventet faktorisert som 193 707 721 * 761 838 257 287 av en amerikansk matematiker F.N. Cole. Han vedgikk at det hadde tatt ham tyve år å finne denne faktoriseringen. I 1947 kunne Mersennes formodning kontrolleres, og man oppdaget at M 67 og M 257 er sammensatte tall, mens M 61 , M 89 og M 127 er primtall. Ellers var formodningen korrekt.