Fasit mattenøtt TU 03 - 2014

 

Oppgaven: Forekomsten av primtall i rekken av naturlige tall er meget uregelmessig. Under 1000 forekommer det mellom 14 og 25 primtall for hver rekke på 100 tall.

Dette synker og etter 10 er dette antallet mindre enn 6, med få unntak. Vis at det alltid finnes et intervall av virkårlig lengde av naturlige tall der alle tallene er sammensatte, dvs. ingen primtall.

Som et hint kan dere først finne 6 på hinannen følgende tall som er større enn 7! som alle er sammensatte.

 

Løsning: I en primtall-tabell med tall over 7! = 5040, kan vi se at det ikke fins noen primtall mellom 5039 og 5051.

Hvis vi tenker på å bevise oppgaven tar vi for oss tallrekken på de 6 tallene 5042, 5043, 5044, 5045, 5046 og 5047.

Disse kan skrives som 7!+2, 7!+3, 7!+4, 7!+5, 7!+6 og 7!+7.

Hvis vi i stedet for 6 setter inn tallet n, får vi tallene gitt ved: (n+1)!+2, (n+1)!+3, (n+1)!+4, ….. , (n+1)!+n+1.

Her har vi et intervall på lengde n av på hinannen følgende naturlige tall og trenger derfor kun å vise at de er sammensatte (ikke prim).

Vi ser lett at 2 går opp i (n+1)!+2, siden 2 er med i begge uttrykkene og videre at 3 går opp i (n+1)!+3 av samme årsak, osv til og med n+1, som også går opp i begge uttrykkene.

Vi har dermed bevist oppgaven, vanskeligere var det ikke.

Vil du løse flere mattenøtter?

Vi har mange utfordringer til deg her: tu.no/matte