Fasit mattenøtt TU 02 - 2015

 

  • mattenotter

Oppgaven: Det finnes mange lette oppgaver som går ut på å finne alderen til nære slektninger. En gutt har en bror og en mor som fyller år i dag.

Hvis du om to år dividerer morens alder med brorens alder i dag og legger til brorens alder, blir dette to tredjedeler av mors alder da broren ble født.

Hvor gammel ble broren og moren i dag? Siden denne er en som er vanskelig, gir vi et hint:

Slike oppgaver løses best ved å omdanne oppgaven til en ligning og derpå omdanne denne til et produkt på formen a*b = c*d for derpå å finne heltallsløsningene på a, b, c og d.

Løsning: Vi ser lett at hvis broren fyller 13 og moren 37 år så er oppgaven løst, men å regne dette ut er vanskeligere. Vi kaller morens alder for x og brorens for y.

Da har vi: ((x+2)/y)+y = (2/3)(x-y) som gir oss 5y2-2xy+3x+6=0.

Disse heltallsoppgavene går ut på å finne en omskrivning slik at vi får et produkt lik et annet produkt.

Uttrykket omskrives til x(2y-3)-5y2=6. For å få (2y)2 må vi gange med 4 og får 4x(2y-3)-5(2y)2=24

Faktoren (2y-3) kan vi få ut av (2y-3)*(2y+3) = (2y)2-9 som gir (2y)2 = (2y-3)*(2y+3)+9 og dermed har vi 4x(2y-3)-5(2y-3) )*(2y+3)=45+24=69.

Dette gir oss produktfaktoren som vi var ute etter gitt ved: (2y-3)(4x-10y-15)=3*23.

Mulige heltallsløsninger blir dermed for broren y: 2, 3, 13 eller 36 og for moren x: 26, 17, 37 og 94.

Her ser vi at kun 3 og 37 kan brukes.